生活是近似的艺术如果我们考虑生活中每一个方面的每一个细节，我们就永远不会有新的进步当然，我们需要谨慎选择忽略哪些事情，因为如果那些细节包含了众所周知的魔鬼，它们可能会反过来咬我们一口

数学家吃过很多次亏一个典型的例子是斯托克斯现象它起源于近200年前的一个关于彩虹的问题，已经发展成为数学的一个子领域事实上，今年剑桥汇集了这一领域的一些最聪明的人才，并就这一主题启动了一个虚拟研究项目这个问题涉及到一个非常小的量——指数级的小但是伴随着时间和空间的推移，这个小数量可以成倍地增长到一个大数量理解这些潜在的爆炸性数量不仅对数学至关重要，对从喷气发动机制造到理论物理的工程和科学也是如此

彩虹家庭

这个问题始于1838年，当时天文学家乔治·比德尔·艾里对彩虹感兴趣。

如果你足够幸运，仔细观察彩虹，你会发现彩虹主体下方有一条或几条不太明显的弧线，主要是绿色，粉色和紫色艾里对这些多余的条纹感兴趣，不是因为它们本身，而是因为光学透镜中类似的边缘效应作为一名需要经常使用望远镜的天文学家，艾里想了解这一现象背后的原因

附带彩虹的彩虹。摄影:约翰内斯·巴赫特·艾里函数

艾里函数Ai是以下微分方程的解:

它由这个积分给出:

沿着垂直于彩虹的坐标轴，光的强度与艾里函数的平方有关。

在17世纪早期，勒内·笛卡尔通过把光想象成光线的理论解释了主虹的成因但光线理论无法预测附属条纹的存在，所以我们无法模拟它是什么，克里斯·豪斯说，他也是牛顿研究所项目的联合发起人

艾里写了一个数学公式，现在叫做艾里函数，由此可以得出主虹和副虹的光强当用垂直于彩虹的直坐标轴描述彩虹时，我们也可以得到彩虹弧的位置艾里想要计算这些额外的条纹在哪里，因为这将有助于提高望远镜的光学性能豪斯说

艾里函数的问题是很难计算给定x的一个具体值，很难计算出Airy函数值Ai起初，艾里用二次曲线来计算当x从—4到4的区间为0.2时艾里函数值11年后，他用数学家德·摩根推荐的方法改进了这个结果:用无穷级数的和来逼近函数

利用现代方法，我们可以计算出艾里函数值并画出图像最右边的主凸起代表主彩虹，左边较小的凸起代表副彩虹

无穷级数求和的想法乍一看似乎很奇怪我们举个例子

检查指数函数:

其中e是欧拉常数e=2.718281…

该函数由以下无限和的泰勒级数给出:

级数的每一项都是变量x的幂函数。

现在，给定变量x的任意一个具体值，我们永远无法将这个级数的每一项相加，但是我们可以将前n项求和，得到所谓的部分和我们得到的结果是ex的一个近似值:n越大，这个近似值就越精确事实上，只要使n足够大，我们就可以得到一个任意精度的近似值从数学上来说，这个级数可以收敛到所有x的值f

比如现在为了估计x=2时ex的值，我们简单的取x=2计算泰勒级数的前几项，保留前五项。我们得到:

而函数f在x=2时的真值是f = e2 ≈ 7.4。

所以在这个例子中，即使只取泰勒级数的前五项，也能给出x=2时函数值的合理近似值。

泰勒级数存在于一整类函数中而泰勒定理可以告诉我们函数的近似值和真值之间的差距有多大

泰勒的失败

泰勒级数理论上很棒，艾里真的可以用艾里函数对应的泰勒级数计算出x从—5.6到5.6时函数的值但是还有一个障碍艾里函数的泰勒级数虽然可以收敛到函数本身，但是收敛太慢我们甚至需要计算13到14个项目，才能得到第一个附件条纹，豪斯说这在1838年是非常困难的，因为当时的科学家必须手工完成，这是不现实的

蓝色曲线是艾里函数，红色曲线保留了前三个泰勒级数得到的近似值可以看出，近似只与右边代表主彩虹的第一个凸起一致

为了找到一种更简单的方法来逼近艾里函数，数学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯在1850年决定冒险使用一个不收敛级数来逼近。

撒旦系列

很容易想象，不是所有的级数都收敛于一个有限值。下面的系列就是一个简单的例子:

当越来越多的项包含在部分和中时，结果会越来越大，最终会超出所有的边界——不会逼近一个有限值这个级数将发散到无穷大

发散系列就像马戏团的野兽，危险但可以通过各种技巧控制1828年，就在斯托克斯开始研究艾里函数之前，挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔用魔鬼的发明来描述发散级数，并声称任何基于发散级数的证明都是可耻的

但是当斯托克斯试图逼近艾里函数时，他没有被吓倒为了深入分析艾里函数的数学本质，他开始考虑使用发散级数事实上，散度级数很好地逼近了艾里函数

驯服动物的技巧，在于知道该停在哪里因为斯托克斯使用的级数发散到无穷大，如果部分和中的项数太多，近似值就会变得巨大，远远偏离相应的有限大小的艾里函数值但如果部分和的项数恰到好处，近似值会非常接近实际函数值

当我们把发散级数越来越多的项加起来，就会得到越来越大的结果，最后发散到无穷远但是斯托克斯知道，对于他使用的散度级数，取适当的项数，可以得到艾里函数的很好的近似

斯托克斯的巧妙方法使他能够非常方便地在x的值处逼近艾里函数值，因此他基本上解决了计算附属彩虹的问题下图蓝色曲线代表实际的艾里函数，红色曲线代表斯托克斯的近似值你可以看到红线和蓝线非常吻合唯一的差异出现在x=0附近，在向无穷大发散的红色曲线的中间

就彩虹而言，这个区别并不重要，因为我们感兴趣的是代表附属彩虹的x=0左侧的艾里函数的行为。

蓝色曲线是实际的艾里函数，红色曲线是斯托克斯的渐近近似给出了公式在不同部分的近似值

这里，渐进一词的意思是，只有当x是一个足够大的正数和一个足够小的负数时，近似才有效。

尽管他成功地解决了这个问题，斯托克斯并不满意他的近似的两个部分是用两个非常不同的数学公式描述的，这让斯托克斯非常困扰"斯托克斯想知道的是如何从一种表情过渡到另一种表情"豪斯说，从1850年到1902年，这个问题一直困扰着他斯托克斯的最终答案表明，在渐近逼近时，微小的指数项可以突然出现，然后增长到占主导地位详情请听下回分解

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