为什么四面体很难构造而三角形很简单。

三角形内角定理使处理三角形变得容易如果不依赖这个定理会怎么样

有没有41，76，63三个角的三角形。

答案似乎很简单数学课上我们学过三角形内角之和为180因为41+76+63 = 180，这样的三角形是存在的

但这个问题远比看起来复杂三角形内角和定理告诉我们，在平面欧氏几何中，给定一个三角形，其内角和为180但是我们的问题没有给出三角形相反，我们的问题是这样的三角形是否存在三角形内角定理并没有直接回答这个问题，但是可以帮助我们构造所需的三角形

为了满足三角形内角和定理，三角形的每个角都需要小于180°这意味着我们总是可以将两个角放在线段的同一侧例如，我们可以将41°角和76°角放在线段AB的两端

从A点和B点发出的两条光线不能平行因为欧几里德的几何要求两条直线的侧角和内角是互补的——也就是互相平行180度A点和B点的角度不满足这个要求，所以这两条光线不会平行，而是相交

让我们把这两条射线的交点作为点C，在这里我们得到另一个角度现在我们可以应用三角形内角和定理第三个角度必须是180—= 63，所以ABC就是我们所期望的

上面的论证可以推广到表明任何三个和为180°的角都可以构成一个三角形显然，如果用角制来衡量，我们很容易找到一个三角形，它的三个角都是有理数首先选择两个和小于180的有理数X和Y，那么z=180—也是有理数而且因为x+y+z=180，这三个有理数角可以组成一个三角形

虽然用有理数个角构造一个平面三角形是如此简单，但三维空间中的类似问题是如此复杂，以至于世界上最优秀的数学家都要花上几十年才能解决为什么只增加一个维度，这类问题就变得如此复杂要理解这一点，就要对三角形的内角和定理有更深入的理解

在三维空间中，这个问题涉及到四面体——它有四个三角形边你可以把四面体想象成一个三维的三角形在二维空间中，三角形是最简单的封闭图形，边界是直的，只用三条线段就可以围成在三维中，四面体是由直线边界包围的最简单的封闭图形，可以由四个三角形平面构成

四面体的四条三角形边就像三角形的三条边但是角应该怎么对应呢你可以想象四面体的四个顶点各有一个立体角，但在这个问题中我们更关心的是面相交形成的二面角

如果你画两个相交的平面，你会发现可以测量的角度有很多你应该选择哪个角度来表示这两个平面之间的角度

答案是旋转这两个相交的平面，直到它们看起来像一个二维的角度。

这就是我们所说的二面角。

在四面体中，四个面成对相交，形成六条边和六个二面角几十年来，数学家们一直试图弄清楚什么样的四面体有六个有理二面角如上所述，如果一个角的度数是有理数，那么它就是有理数角这相当于在弧系中，角度是一个有理数乘以π

我们已经看到用有理数的角构造一个平面三角形是多么简单但是对于四面体来说，这个问题就复杂多了考虑这个从立方体的一个角切下的简单四面体

我们马上可以看到，这个四面体有三个二面角，是由原立方体的面组成的，所以是直角用棱来指二面角是很方便的在这个四面体中，边OA，OB和OC上的二面角都是直角

如果切割立方体的角度合适使得OA=OB=OC，那么以AB，AC，BC为棱的二面角大小应该相等我们可以把立方体切割成OA=OB=OC=1，然后就可以计算出以BC为边的二面角测量二面角的关键是使从BC中点M到O点和A点的线段

如果旋转四面体，从侧面观察以BC为边的二面角，这个角在平面上会投影为∠AMO，而∠AMO的大小等于原来的二面角测量∠AMO的大小需要知道线段OA和OM的长度我们已经知道OA = 1接下来，为了知道OM的长度，我们只需要进一步考察三角形δδOCB

由于∠BOC是直角，我们可以用勾股定理得到BC = √2，由于M是BC的中点，MC = √2/2δOCB不仅是直角三角形，也是等腰三角形，因为OB = OC这意味着这是一个45—45—90度的三角形，OBC和OCB都是45度δOCB是等腰三角形，保证OM垂直于BC，所以δOMC也是直角三角形但如果∠OMC = 90°，MOC = 45，三角形内角和定理告诉我们∠MOC = 45°，也就是说小三角形δ OMC也是等腰的，所以OM = MC = √2/2

现在我们终于可以计算∠AMO的大小了。

tan∠AMO = 1/ = 2/√2 = √2

在δδAMO中，我们知道AO = 1，OM = √2/2另外，因为∠AOM是直角，我们可以用三角函数

tan∠AMO = 1/ = 2/√2 = √2。

所以∠AMO的大小就是∠ 2的反正切，也就是反正切∠ 2，这是一个无理数所以这个四面体有三个无理数大小的二面角，不是我们要找的有理四面体但是，虽然不是我们的目标，但是这个无理数四面体在寻找有理数四面体的时候可以告诉我们一些重要的信息

为了理解这一点，我们来近似上面的无理数四面体的二面角之和通过计算器或三角函数表，我们发现∠AMO约为54.74

现在我们可以对四面体OABC的六个二面角求和:三个直角都是90°，另外三个角都等于我们刚刚计算的角因此，这个四面体的六个二面角之和约为3× 90+3× 54.74 ≈ 434.22

这就是区别让我们回到立方体我们没有按照OA = OB = OC的方式切，而是在拐角处切了很薄的一块

新的四面体仍然有三个90°的二面角，分别以OP，OC，OB为边但是其他三个二面角的值都变了以BC为边的角度看起来很小，而以PB和PC为边的角度看起来与OB和OC处的角度差别不大

实际上，如果你不断把四面体切得越来越薄，P点会越来越靠近O点，以BC为边的二面角会接近0°，以PB和PC为边的二面角会趋于90°，所以这些角之和大约是:

90 + 90 + 90 + 90 + 90 + 0 = 450 .

当P点接近O点时，四面体的六个二面角之和将接近450这意味着二面角的和会改变！在最初的四面体OABC中，六个二面角的和大约是434，但是当我们改变这些角时，它们的和也会改变或许在某些层面上，四面体可以看作是平面三角形的三维版本，但两者有一个很大的区别:没有四面体二面角和定理来保证这些角的和是常数

这说明我们只能保证四面体的二面角之和在360°到540°之间如果你在寻找一个由有理二面角组成的四面体，这将是一个问题你不能随意选择五个理性的角度，然后很肯定的说第六个角度也是理性的因为不像三角形，你不知道这些二面角的和是多少

更糟糕的是，你甚至不知道任意大小的六个二面角能否组成一个四面体考虑五个直角和一个锐角它们的和在450到540之间，确实在四面体允许的范围内但是没有这样六个角组成的四面体如果六个角中的五个都是直角，那么一定有一个面有三个90°的二面角但在这种情况下，这些面无法闭合形成四面体:就像平行线一样，它们永远不会相交

三个直角二面角共享的面可以是三棱柱的一部分，但不会是四面体的一部分。

所以，寻找所有可能的有理数四面体的问题，远比寻找五六个有确定和的有理数复杂另外，为了解决这个问题，我们需要解一个有105项的方程，这个方程来自于约翰·康威和安东尼娅·琼斯在1976年的一篇论文一些数学家在2020年完成了这项工作，结果是对所有有理四面体进行了完整的分类

三角形的内角和定理只是欣赏三角形的优雅和美丽的众多理由之一对于四面体来说，缺少这样一个定理，恰恰说明了提升一个维度所带来的美好和复杂

问题

1.立方体的二面角之和是多少。

回答

立方体有12条边，所以它有12个二面角每个角都是90度，所以总和是12× 90 = 1080

问题

2.正四面体的六个二面角的近似和是多少。

回答

的六个二面角都相等，所以我们可以做一个直角三角形来计算一个二面角的大小。

正四面体的每个面都是等边三角形，所以边的中线——顶点到对边中点的线段——的高度是√3/2s，其中1/3 ×√3/2s是边长，这就是我们需要的直角三角形的斜边底部的中心叫做形心，它在底部三角形的中线上，距离三角形底部的中点1/3四面体顶部顶点到底面中心的高度为s，是待求直角三角形的直角边所以正四面体两边的二面角余弦为/ = 1/3由于arccos ≈ 70.53，正四面体的六个二面角之和约为6× 70.53 ≈ 423.18

问题

3.想象一个正四面体放在桌面上当你把顶顶点往下压，在四面体逐渐被压扁的过程中，六个二面角的和是如何变化的

回答

在将四面体压扁的过程中，与底面相交的三个二面角逐渐变为0，另外三个二面角都趋近于180，所以和为3× 0+3× 180 = 540这是四面体二面角之和的上限为了达到二面角之和的最小值，可以将两个相对的边推向对方，四个二面角会变成0°，而另外两个会变成180°

问题

4.任意四个和为360°的角能形成四边形吗。

回答

当然可以设四个角为a，b，c，d，a+b+c+d = 360假设a和b都小于或等于c和D. C分为c和c，d分为d和d，即c = c+c，d = d+d，这样a+c+d = 180，b+c+d = 180用这两组角来构造两个三角形，并调整它们的大小，使A和B的对边长度相等然后把它们放在一起，C和C组成C，D和D组成D，这样就得到了一个角为A，B，C，D的四边形

一个有趣的问题是，是否总是有可能用一组顺序特定的角来构造四边形。

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